I · Üks külaline ukse taga
„Täis” kõlab nagu lõplik vastus.
Vilenkini loos jõuab kosmoserändur hotelli, mis ulatub läbi galaktikate. Siin on tube numbritega 1, 2, 3 ja nii edasi. Igas toas on külaline. Fuajees ootab teda siiski seesama vana teade, mida võiks kohata kõige tavalisemas teeäärses võõrastemajas: vabu tube pole.
Rändur ei vaja lõputult ruumi. Ta vajab ühtainsat tuba.
Direktor teeb ettepaneku, mis esialgu ei näi midagi lahendavat.
„Majutage ta tuppa nr 1.”
„Aga kuhu ma panen selle toa elaniku?”
Vilenkin, lk 54 · tõlketsitaat
Toa 1 elanik läheb tuppa 2. Toa 2 elanik tuppa 3. Iga senine külaline liigub ühe toa võrra edasi.
Siin tahaks mõte kohe vahele hüüda: aga viimane külaline?
Viimast külalist ei ole.
Tuba 1 vabanes. Keegi ei kaotanud oma kohta. Ühtegi uut tuba ei ehitatud. Iga külaline sai täiesti tavalise, lõpliku numbriga toa.
„Kõik toad on hõivatud” kirjeldab praegust paigutust. Lõpmatus hotellis ei tähenda see, et teistsuguse paigutuse abil ei võiks veel kedagi majutada.
Kaheksatoalises hotellis lõpeks sama lugu teisiti: toa 8 elanik vajaks puuduvat tuba 9. Ülal saad vahetada lõpmatu hotelli kaheksatoalise vastu ja näha, kus täpselt erinevus tekib.
Erinevad algsed toanumbrid annavad erinevad uued numbrid. Iga tuba alates 2-st saab asuka toast, mille number on ühe võrra väiksem. Tuba 1 jääb uuele külalisele.
II · Järgmisel hommikul
Üllatus kordub.
Aga kas see on veel üllatus?
Raamatu rändur ei imesta enam eriti, kui tal palutakse järgmisel päeval kolida toast 1 tuppa 1 000 000. Saabunud on 999 999 uut külalist.
Esimene mõte oli pöörane. Järgmine on juba selle mõtte rahulik jätk: kui igaüks liigub k toa võrra edasi, vabanevad esimesed k tuba.
Sada külalist? Miljon? Ükskõik kui suur lõplik arv. Iga senise külalise uus toanumber jääb endiselt lõplikuks.
Suurus võib meid ehmatada, kuid selles olukorras ei muuda see lahenduse mõtet. Toast 7 võib kolida tuppa 12 või tuppa 1 000 006. Mõlemad toad on olemas.
Lõpmatus ei ole lihtsalt väga suur arv.
Järgmine külaliste saabumine näitab, miks see vahe loeb.
III · Järjekord, mille lõppu ei paista
Ka miljon vaba tuba oleks liiga vähe.
Saabuvad margikogujad. Nende järjekorras on esimene, teine, kolmas külaline — aga viimast ei ole. Nii nagu hotellitubadelgi, on igal järjekorranumbril järgmine.
Me ei saa kõiki seniseid elanikke „lõpmatuse võrra edasi” saata. Sellist toanumbrit ei ole. Ka esimesest miljonist vabast toast saaks ühel hetkel piir: järgmine saabuja vajaks ikkagi kohta.
Direktor muudab korraldust. Senine külaline toast 1 kolib tuppa 2, toast 2 tuppa 4, toast 3 tuppa 6. Senised külalised hõivavad kõik paarisnumbrilised toad.
Ja nende vahele jääb midagi hämmastavat: terve lõputu hotellitäis vabu tube.
Uus külaline 1 saab toa 1. Uus külaline 2 saab toa 3. Uus külaline 3 saab toa 5. Mõlemad lõputud järjekorrad mahuvad ühte koridori, teineteisega segi minemata.
Uus külaline n → 2n − 1
Paarisnumber ei saa olla paaritu. Ka sama järjekorra eri külalistel on erinevad toanumbrid. Iga positiivne täisarv on aga kas paaris või paaritu: seega saab iga tuba täpselt ühe asuka.
Siin pole kedagi „lõpmatuse lõppu” saadetud. Iga üksiku inimese jaoks on teekonna siht täiesti konkreetne. Näiteks raamatu järjekorras 574. kohal seisnud margikoguja saab toa 1147.
IV · Ärasõit
Pool hotelli jääb tühjaks.
Ja ometi jätkub kõigisse tubadesse elanikke.
Seniste külaliste kokkutulek lõpeb. Paarisnumbrilised toad tühjenevad. Margikogujad elavad edasi tubades 1, 3, 5, 7 ja nii edasi.
Hotelli juhataja ei ole pooltühja koridoriga rahul. Lahendus on taas ümberkolimine: toa 1 elanik jääb paigale, toast 3 kolitakse tuppa 2, toast 5 tuppa 3.
„Selle tulemusel olid kõik toad jälle täis, kuigi ühtegi uut elanikku ei saabunud.”
Vilenkin, lk 55 · tõlketsitaat
Meie harjumuspärane mõte ütleb: kui pool lahkub, on allesjäänuid vähem. Hotelli koridoris ongi nüüd pooled toad tühjad. Aga allesjäänud külalisi saab seada üks ühele vastavusse kõigi tubadega.
Need kaks väidet ei lähe vastuollu. „Millised toad on praegu hõivatud?” ja „Kas igale toale leidub oma külaline?” on erinevad küsimused.
Lõpmatu hulga osa võib olla kogu hulgaga sama võimsusega.
Ükskõik millise sihttoa n valid, tema jaoks leidub külaline toast 2n − 1. Kaks eri külalist ei saa sama sihtnumbrit. Nii ei jää ühtegi tuba tühjaks.
V · Hotellide hotell
Mis siis, kui saabub
lõpmatult palju lõpmatusi?
Nüüd tuleb teade teiste hotellide sulgemisest. Neid on lõpmatult palju. Igas on lõpmatult tube ja kõik on hõivatud. Kõik elanikud tuleb tuua ühte hotelli — sellesse, mis on juba täis.
„Ei, hotell ei ole kummist!”
Vilenkin, lk 56 · direktori vastus, tõlketsitaat
Seekord on igal külalisel kaks aadressinumbrit: hotelli number ja toa number. Näiteks (4, 6) tähendab neljanda hotelli kuuenda toa elanikku. Nummerdame vastuvõtva hotelli esimeseks: ka selle senised elanikud on tabelis olemas.
Kui võtaksime kõigepealt esimese hotelli kõik külalised, ei jõuaks me teise hotellini kunagi. Esimene rida ei lõpe.
Vilenkini loos tuleb lahendus margikogujalt: ärme liigu lõputu rea lõpuni; kasvatame hoopis ruutu. Kõigepealt üks lahter. Siis 2 × 2 ruut. Seejärel 3 × 3. Iga uus serv võtab kaasa järgmise hotelli ja järgmised toad.
Tabel jätkub paremale ja alla. Kuues ruut ei ole viimane.
Esimese 3 × 3 ruudu järel on uue toa saanud üheksa külalist. Nende seas on juba esimese, teise ja kolmanda hotelli elanikke. Me pole lõpetanud ühtegi lõputut rida. Me ei pidanudki.
Vali mõttes ükskõik milline külaline. Tema hotelli number on lõplik. Tema toa number on lõplik. Võta neist suurem: selle suurusega ruut sisaldab ka tema lahtrit.
Kõigiga ei jõua kunagi lõpuni.
Aga igaüheni jõuab lõpliku arvu sammudega.
See erinevus on kogu loo süda. Ükski külaline ei jää alatiseks välja. Uus serv ei korda vanu lahtreid ja uusi toanumbreid anname järjest. Nii saab iga külaline oma toa ja iga tuba oma külalise.
Külaline, kes ei mahu joonisele
Kui tahad näha toanumbri valemit
Kui r ≥ h, on lahter uue ruudu paremas veerus. Enne seda on paigutatud (r − 1)² külalist; oma veerus on külaline h-ndal kohal.
Kui r < h, on lahter alumises reas. Selle rea vasakpoolseim lahter saab numbri h². Meie lahter on sellest r − 1 kohta paremal.
Miks mõni ilus plaan siiski luhtub?
Kaks külalist sama ukse taga
Raamatus pakutakse ka teisi paigutusi. Üks neist annab hotellile 1 toad 2, 4, 8, …, hotellile 2 toad 3, 9, 27, … ja hotellile 3 toad 4, 16, 64, … . Algus näib paljulubav.
Reegli ilus kuju ei ole veel piisav. Tuleb vaadata, kas ta hoiab iga inimese koha teistest lahus.
VI · Viimane üllatus peolauas
Igale külalisele üks portsjon.
Iga külaline saab kaks.
Hotelli juhataja korraldab eduka ümberkolimise puhul vastuvõtu. Raamatu peol saab igaüks kaks portsjonit jäätist, kuigi kokk valmistas portsjoneid täpselt ühe külalise kohta.
Nummerdame portsjonid 1, 2, 3, … . Esimene külaline saab portsjonid 1 ja 2. Teine saab 3 ja 4. Kolmas saab 5 ja 6.
Jäätist ei teki juurde. Ühtegi portsjonit ei anta kaks korda. Muutub ainult jaotamise viis.
Külaline n saab portsjonid 2n − 1 ja 2n. Iga portsjon kuulub ühte paari ja iga paar ühele külalisele. Paaride järjekord ei lõpe, nagu ei lõpe külaliste järjekordki.
Sama kummaline omadus, mis avas rändurile esimese toa, ulatub nüüd peolauani. Lõpmatuse puhul ei määra paigutuse muutumine üksi seda, kas inimesi või esemeid on hulgavõimsuse mõttes rohkem või vähem.
Kui hotelli uks meie selja taga sulgub
Mõistatus ei kadunud.
Me õppisime seda täpsemalt nägema.
„Täis.” „Pool.” „Kaks korda rohkem.” Need sõnad on meile tuttavad maailmast, kus igal hotellil on viimane tuba. Lõpmatuse juurde minnes võtame need harjumused kaasa. Seal tuleb küsida, mida me nendega täpselt mõtleme.
Hotellis ei lugenud me kunagi kõiki külalisi lõpuni. Ometi saime igaühele koha anda. Selleks piisas reeglist, mis ei unusta ühtegi inimest ega anna sama tuba kahele.
Vilenkin tuletab loo lõpus meelde, et päris kosmoses piirab teate levimist valguse kiirus. Meie animatsioonid ei lahenda füüsilist kolimist. Need lasevad näha matemaatilist vastavust — mõtet, mis määrab korraga iga külalise koha.
Ja siiski ei mahu sellesse hotelli iga lõpmatus.
Kõik meie hotelli külalised olid nummerdatavad 1, 2, 3, … . Reaalarvudega see ei õnnestu. Nii viib üks lahendatud mõistatus järgmise juurde.
Jätka: lõpmatus, mis hotelli ei mahu